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2Montrer qu'une fonction est uniformément continue
  2. Méthode 1 : montrer que ff est lipschitzienne (∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣|f(x)-f(y)| \leq K|x-y|).
  • Méthode 2 : si ff est continue sur un compact, appliquer Heine.
  • Méthode 3 : directement avec la définition (δ\delta indépendant du point).
    • 3Étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux
    2. Vérifier la continuité sur chaque morceau (fonctions usuelles).
  • Aux points de raccord, calculer les limites a gauche et a droite.
  • Vérifier que lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a).

    • Formules express7

    Limite fondamentale
    lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
    lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
    lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1
    Croissances comparees
    lim⁡x→+∞ln⁡xxα=0(α>0)\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0)
    lim⁡x→+∞xαex=0(α>0)\lim_{x \to +\infty} \frac{x^\alpha}{e^x} = 0 \quad (\alpha > 0)
    lim⁡x→0+xαln⁡x=0(α>0)\lim_{x \to 0^+} x^\alpha \ln x = 0 \quad (\alpha > 0)
    Image d'un segment
    f continue sur [a,b]  ⟹  f([a,b])=[min⁡f,max⁡f]f \text{ continue sur } [a,b] \implies f([a,b]) = [\min f, \max f]

    Erreurs classiques4

    ❌
    Appliquer le TVI sans vérifier la continuité de ff.
    ❌
    Conclure a l'unicité d'un zéro avec le TVI seul (il faut la monotonie stricte).
    ❌
    Confondre continuité et continuité uniforme : x↦x2x \mapsto x^2 est continue sur R\mathbb{R} mais pas uniformément continue.
    ❌
    Oublier que le théorème des bornes atteintes necessite un intervalle FERME borne.

    Exercice flash

    Montrer que x3+x−1=0x^3 + x - 1 = 0 admet une unique solution dans R\mathbb{R}.

    Conseils concours3

    🎯
    Le TVI + monotonie stricte est LE combo classique pour existence + unicité.
    🎯
    Pour montrer qu'une limite n'existe pas, la caractérisation séquentielle est l'outil le plus efficace.
    🎯
    Heine est souvent utilise comme argument intermediaire dans des preuves plus longues.