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2Méthode de l'escalier (représentation graphique)
  2. Tracer y=f(x)y = f(x) et y=xy = x sur le même graphe.
  • Partir de u0u_0 sur l'axe des xx.
  • Monter verticalement jusqu'a y=f(x)y = f(x) pour lire u1=f(u0)u_1 = f(u_0).
  • Reporter horizontalement sur y=xy = x et repeter.
    • 3Vitesse de convergence
    2. Poser en=un−ℓe_n = u_n - \ell (erreur).
  • DL : f(ℓ+en)=ℓ+f′(ℓ)en+O(en2)f(\ell + e_n) = \ell + f'(\ell) e_n + O(e_n^2).
  • Donc en+1≈f′(ℓ)⋅ene_{n+1} \approx f'(\ell) \cdot e_n : convergence géométrique de raison ∣f′(ℓ)∣|f'(\ell)|.
  • Si f′(ℓ)=0f'(\ell) = 0, convergence quadratique (méthode de Newton).

    • Formules express6

    Limite = point fixe
    un+1=f(un)  ⟹  lim⁡un=ℓ  ⟹  f(ℓ)=ℓu_{n+1} = f(u_n) \implies \lim u_n = \ell \implies f(\ell) = \ell
    Vitesse (contraction)
    ∣un+1−ℓ∣≤k∣un−ℓ∣  ⟹  ∣un−ℓ∣≤kn∣u0−ℓ∣|u_{n+1} - \ell| \leq k |u_n - \ell| \implies |u_n - \ell| \leq k^n |u_0 - \ell|
    Récurrence linéaire
    r2−ar−b=0 (equation caracteristique d’ordre 2)r^2 - ar - b = 0 \text{ (equation caracteristique d'ordre 2)}
    Solutions ordre 2
    Δ>0:un=αr1n+βr2n∣Δ=0:un=(α+βn)rn\Delta > 0 : u_n = \alpha r_1^n + \beta r_2^n \quad | \quad \Delta = 0 : u_n = (\alpha + \beta n) r^n
    Racines complexes
    Δ<0:un=ρn(αcos⁡(nθ)+βsin⁡(nθ))\Delta < 0 : u_n = \rho^n(\alpha \cos(n\theta) + \beta \sin(n\theta))
    Critère de contraction
    f k-contractante  ⟺  sup⁡∣f′∣≤k<1f \text{ } k\text{-contractante} \iff \sup |f'| \leq k < 1

    Erreurs classiques5

    ❌
    Oublier de vérifier la stabilite de l'intervalle avant d'étudier la monotonie.
    ❌
    Passer à la limite dans un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n) sans vérifier la continuité de ff.
    ❌
    Confondre point fixe attractif et répulsif : vérifier le signe de ∣f′(ℓ)∣−1|f'(\ell)| - 1.
    ❌
    Pour ff décroissante, oublier d'extraire les sous-suites paires et impaires.
    ❌
    Oublier les conditions initiales pour determiner α\alpha et β\beta dans les récurrences linéaires.

    Exercice flash

    Soit u0=1u_0 = 1 et un+1=12(un+2un)u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n}). Montrer que (un)(u_n) converge et trouver sa limite.

    Conseils concours4

    🎯
    L'étude graphique (escalier/colimaçon) est souvent demandée : savoir la faire rapidement.
    🎯
    Penser au théorème du point fixe contractant pour les preuves d'existence et unicité.
    🎯
    Pour les récurrences du type un+1=aun+bu_{n+1} = au_n + b, poser vn=un−ℓv_n = u_n - \ell pour se ramener a vn+1=avnv_{n+1} = a v_n.
    🎯
    La méthode de Newton (un+1=un−f(un)/f′(un)u_{n+1} = u_n - f(u_n)/f'(u_n)) donne une convergence quadratique : très rapide.