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2Utiliser le théorème des gendarmes
  2. Encadrer unu_n entre deux suites an≤un≤bna_n \leq u_n \leq b_n.
  • Calculer lim⁡an\lim a_n et lim⁡bn\lim b_n.
  • Vérifier que ces deux limites sont egales.
  • Conclure.
    • 3Montrer une convergence avec la définition
    2. Soit ε>0\varepsilon > 0 fixe.
  • Majorer ∣un−ℓ∣|u_n - \ell| par une expression simple en nn.
  • Résoudre l'inéquation pour trouver NN en fonction de ε\varepsilon.
  • Conclure : pour n≥Nn \geq N, ∣un−ℓ∣≤ε|u_n - \ell| \leq \varepsilon.

    • Formules express8

    Suites de reference
    lim⁡n→+∞1nα=0(α>0)\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0)
    Suite géométrique
    lim⁡n→+∞qn=0(∣q∣<1)\lim_{n \to +\infty} q^n = 0 \quad (|q| < 1)
    Croissances comparees
    lim⁡n→+∞nkan=0(a>1,  k∈N)\lim_{n \to +\infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \quad (a > 1,\; k \in \mathbb{N})
    Exponentielle vs factorielle
    lim⁡n→+∞ann!=0(a∈R)\lim_{n \to +\infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \quad (a \in \mathbb{R})
    Log vs puissance
    lim⁡n→+∞ln⁡nnα=0(α>0)\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln n}{n^\alpha} = 0 \quad (\alpha > 0)
    lim⁡n→+∞n1/n=1\lim_{n \to +\infty} n^{1/n} = 1
    lim⁡n→+∞(1+1n)n=e\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e
    Somme géométrique
    ∑k=0nqk=1−qn+11−q(q≠1)\sum_{k=0}^{n} q^k = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad (q \neq 1)

    Erreurs classiques5

    ❌
    Oublier de vérifier la borne en plus de la monotonie pour conclure a la convergence.
    ❌
    Confondre suite bornée et suite convergente : (−1)n(-1)^n est bornée mais diverge.
    ❌
    Appliquer le théorème des gendarmes avec deux limites différentes.
    ❌
    Oublier le 'à partir d'un certain rang' dans la définition de la convergence.
    ❌
    Écrire lim⁡(un+vn)=lim⁡un+lim⁡vn\lim(u_n + v_n) = \lim u_n + \lim v_n sans vérifier que les deux limites existent (formes indeterminees).

    Exercice flash

    Soit un=n2+3n2n2−1u_n = \frac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1}. Calculer lim⁡un\lim u_n.

    Conseils concours4

    🎯
    Aux concours, pensez a encadrer quand le calcul direct est difficile (gendarmes).
    🎯
    Pour les suites un+1=f(un)u_{n+1} = f(u_n), toujours commencer par chercher les points fixes de ff.
    🎯
    La croissance comparee nk≪an≪n!n^k \ll a^n \ll n! est a connaitre par coeur.
    🎯
    En cas de doute sur la monotonie, étudier le signe de un+1−unu_{n+1} - u_n ou le ratio un+1/unu_{n+1}/u_n.