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Inverser une matrice
  2. Vérifier det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0.
  • Méthode du pivot de Gauss : écrire (A∣In)(A | I_n) et transformer en (In∣A−1)(I_n | A^{-1}).
  • Ou : pour 2×22 \times 2, (abcd)−1=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.
    • 3
    Effectuer un changement de base
    2. Identifier les deux bases B\mathcal{B} et B′\mathcal{B}'.
  • Former la matrice de passage PP (colonnes = vecteurs de B′\mathcal{B}' exprimes dans B\mathcal{B}).
  • Calculer P−1P^{-1} (Gauss).
  • Appliquer M′=P−1MPM' = P^{-1}MP.

    • Formules express9

    Det 2×22 \times 2
    det⁡(abcd)=ad−bc\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc
    Multiplicativite
    det⁡(AB)=det⁡(A)⋅det⁡(B)\det(AB) = \det(A) \cdot \det(B)
    Homogeneite
    det⁡(λA)=λndet⁡(A)\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)
    Cyclicite trace
    tr(AB)=tr(BA)\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)
    Changement de base
    M′=P−1MPM' = P^{-1}MP
    Équivalences
    rg(A)=n  ⟺  det⁡(A)≠0  ⟺  A inversible\text{rg}(A) = n \iff \det(A) \neq 0 \iff A \text{ inversible}
    Comatrice
    A−1=1det⁡A⋅Com(A)TA^{-1} = \frac{1}{\det A} \cdot \text{Com}(A)^T
    Inverse produit
    (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}
    Transposée produit
    (AB)T=BTAT(AB)^T = B^T A^T

    Erreurs classiques5

    ❌
    Confondre l'ordre dans P−1MPP^{-1}MP : c'est P−1P^{-1} a GAUCHE.
    ❌
    Oublier le facteur λn\lambda^n dans det⁡(λA)=λndet⁡A\det(\lambda A) = \lambda^n \det A (pas λ\lambda).
    ❌
    Écrire (AB)−1=A−1B−1(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1} au lieu de B−1A−1B^{-1}A^{-1} (l'ordre est inverse !).
    ❌
    Confondre matrice de passage et matrice de l'application linéaire.
    ❌
    Oublier de transposer la comatrice dans la formule A−1=Com(A)T/det⁡AA^{-1} = \text{Com}(A)^T / \det A.

    Exercice flash

    Calculer det⁡(123014002)\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.

    Conseils concours4

    🎯
    Le déterminant d'une matrice triangulaire (sup ou inf) est le produit des éléments diagonaux.
    🎯
    Pour un déterminant n×nn \times n, privilegier les opérations sur les lignes/colonnes pour creer des zéros.
    🎯
    Retenir que tr(AB)=tr(BA)\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) mais tr(ABC)≠tr(BAC)\text{tr}(ABC) \neq \text{tr}(BAC) en général (cyclicite seulement).
    🎯
    Le rang d'une matrice est le nombre de pivots non nuls après echelonnement.