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Montrer qu'une application est linéaire
  2. Méthode directe : vérifier f(λx+μy)=λf(x)+μf(y)f(\lambda x + \mu y) = \lambda f(x) + \mu f(y).
  • Ou bien : vérifier f(x+y)=f(x)+f(y)f(x + y) = f(x) + f(y) et f(λx)=λf(x)f(\lambda x) = \lambda f(x) séparément.
  • Alternative : exprimer ff comme composee/somme d'applications linéaires connues.
    • 3
    Construire un isomorphisme
    2. Definir ff sur une base de EE en choisissant les images.
  • Vérifier que les images forment une base de FF (ou que ff est injective et dim⁡E=dim⁡F\dim E = \dim F).
  • Conclure que ff est un isomorphisme.

    • Formules express8

    Théorème du rang
    dim⁡E=dim⁡(Ker f)+dim⁡(Im f)\dim E = \dim(\text{Ker } f) + \dim(\text{Im } f)
    f injective  ⟺  Ker(f)={0}f \text{ injective} \iff \text{Ker}(f) = \{0\}
    f surjective  ⟺  Im(f)=Ff \text{ surjective} \iff \text{Im}(f) = F
    Dim egales
    dim⁡E=dim⁡F  ⟹  (f inj.  ⟺  f surj.  ⟺  f bij.)\dim E = \dim F \implies (f \text{ inj.} \iff f \text{ surj.} \iff f \text{ bij.})
    Projecteurs
    p2=p  ⟹  E=Ker(p)⊕Im(p)p^2 = p \implies E = \text{Ker}(p) \oplus \text{Im}(p)
    Symétries
    s2=Id  ⟹  E=E1⊕E−1s^2 = \text{Id} \implies E = E_1 \oplus E_{-1}
    Rang compose
    rg(f∘g)≤min⁡(rg(f),rg(g))\text{rg}(f \circ g) \leq \min(\text{rg}(f), \text{rg}(g))
    f bijective  ⟹  f−1 lineairef \text{ bijective} \implies f^{-1} \text{ lineaire}

    Erreurs classiques4

    ❌
    Oublier de vérifier la linéarité avant d'utiliser les propriétés des applications linéaires.
    ❌
    Confondre noyau et image : Ker(f)⊂E\text{Ker}(f) \subset E mais Im(f)⊂F\text{Im}(f) \subset F.
    ❌
    Appliquer 'dim⁡E=dim⁡F⇒\dim E = \dim F \Rightarrow inj   ⟺  \iff surj' en dimension infinie (faux !).
    ❌
    Oublier le théorème du rang et calculer le noyau ET l'image séparément quand un seul suffit.

    Exercice flash

    Soit f:R3→R3f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 définie par f(x,y,z)=(x+y,y+z,x+z)f(x,y,z) = (x+y, y+z, x+z). ff est-elle bijective ?

    Conseils concours4

    🎯
    Le théorème du rang est l'outil n1 : toujours l'utiliser pour relier noyau et image.
    🎯
    Pour montrer l'injectivite, Ker(f)={0}\text{Ker}(f) = \{0\} est toujours plus efficace que la définition.
    🎯
    En dimension egale, ne prouver qu'une des trois propriétés (inj/surj/bij) suffit.
    🎯
    Les projecteurs et symétries sont des classiques d'oral : connaitre p2=pp^2 = p et s2=Ids^2 = \text{Id}.