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  • Méthodes : calcul direct, déterminant non nul, rang de la matrice.
    • 3Trouver une base d'un sev défini par des équations
    2. Écrire les équations definissant le sev (ax+by+cz=0ax + by + cz = 0...).
  • Résoudre le système linéaire (parametrer les solutions).
  • Exprimer le vecteur général en fonction des paramètres libres.
  • Les vecteurs obtenus forment une base du sev.
    • 4Montrer que $E = F \oplus G$
    2. Montrer F∩G={0}F \cap G = \{0\} (un vecteur dans les deux doit être nul).
  • Montrer F+G=EF + G = E (tout vecteur de EE s'écrit comme somme).
  • Ou bien : vérifier dim⁡F+dim⁡G=dim⁡E\dim F + \dim G = \dim E et F∩G={0}F \cap G = \{0\}.

    • Formules express6

    Grassmann
    dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G−dim⁡(F∩G)\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)
    Somme directe
    E=F⊕G  ⟺  F∩G={0} et F+G=EE = F \oplus G \iff F \cap G = \{0\} \text{ et } F + G = E
    Dimensions classiques
    dim⁡Kn=n,dim⁡Kn[X]=n+1,dim⁡Mn,p(K)=np\dim \mathbb{K}^n = n, \quad \dim \mathbb{K}_n[X] = n+1, \quad \dim \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}) = np
    Théorème du rang (apercu)
    dim⁡(Ker f)+dim⁡(Im f)=dim⁡E\dim(\text{Ker } f) + \dim(\text{Im } f) = \dim E
    Critère sev
    F sev  ⟺  (0∈F) et (λx+μy∈F  ∀x,y∈F,λ,μ∈K)F \text{ sev} \iff (0 \in F) \text{ et } (\lambda x + \mu y \in F \; \forall x,y \in F, \lambda,\mu \in \mathbb{K})
    Critère en bonne dimension
    Famille de n vecteurs dans E de dim n:libre  ⟺  generatrice  ⟺  base\text{Famille de } n \text{ vecteurs dans } E \text{ de dim } n : \text{libre} \iff \text{generatrice} \iff \text{base}

    Erreurs classiques5

    ❌
    Oublier de vérifier 0∈F0 \in F quand on montre qu'un ensemble est un sev.
    ❌
    Confondre libre et génératrice : une famille libre n'engendre pas forcement tout l'espace.
    ❌
    Croire que le supplementaire est unique : il ne l'est qu'avec un produit scalaire (orthogonal).
    ❌
    Oublier la formule de Grassmann et faire dim⁡(F+G)=dim⁡F+dim⁡G\dim(F + G) = \dim F + \dim G sans soustraire l'intersection.
    ❌
    En dimension nn, vérifier seulement que la famille a nn vecteurs sans vérifier qu'elle est libre OU génératrice.

    Exercice flash

    Soit F={(x,y,z)∈R3∣x+y−z=0}F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0\}. Trouver une base et la dimension de FF.

    Conseils concours4

    🎯
    Pour vérifier qu'une famille est une base en dimension nn : il suffit de montrer qu'elle est libre ET qu'elle a nn vecteurs (ou génératrice et nn vecteurs).
    🎯
    Penser a la formule de Grassmann des qu'on a une somme ou intersection de sous-espaces.
    🎯
    Un sev défini par pp équations indépendantes dans Rn\mathbb{R}^n a pour dimension n−pn - p.
    🎯
    Le noyau d'une forme linéaire non nulle est toujours un hyperplan (dimension n−1n-1).