Cesàro : pourquoi la réciproque est fausse

Le lemme de Cesaro affirme que si $(u_n)$ converge vers $\ell$, alors la suite des moyennes $\sigma_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} u_k$ converge aussi vers $\ell$. On s'interesse ici a sa reciproque.

1. On pose $u_n = (-1)^n$. Calculer $\sigma_n$ pour $n$ pair puis pour $n$ impair, et en deduire la limite de $(\sigma_n)$.

2. La suite $(u_n)$ converge-t-elle ? Conclure quant a la reciproque du lemme de Cesaro.

3. Montrer que si l'on suppose de plus $(u_n)$ monotone, alors la reciproque devient vraie.