Partie III : Problème de la ruine du joueur

Un joueur possède $a$ euros et joue contre un adversaire possedant $b$ euros. A chaque tour, le gagnant prend 1 euro au perdant ($P(\text{gagner})=p$). Le jeu s'arrete quand l'un est ruine.

1. Poser le probleme: soit $q_i=P(\text{ruine}|\text{fortune initiale}=i)$. Écrire la relation de récurrence.

2. Résoudre pour $p\neq 1/2$ et pour $p=1/2$.

3. Montrer que si $p\leq 1/2$, le joueur est ruine avec probabilité $q_a=1$ (si $b=+\infty$).