Partie I : Convergence de martingales

Soit $(M_n)$ une martingale positive par rapport a la filtration $(\mathcal{F}_n)$.

1. Rappeler la définition de martingale: $E(M_{n+1}|\mathcal{F}_n)=M_n$.

2. Montrer que $E(M_n)=E(M_0)$ pour tout $n$.

3. Montrer que $M_n$ converge p.s. vers une variable aléatoire $M_\infty$ (théorème de convergence des martingales positives).