Partie III : Espaces préhilbertiens et Gram

Soit $E$ un espace prehilbertien et $(v_1,\ldots,v_p)$ un système de vecteurs.

1. Definir la matrice de Gram $G=(\langle v_i,v_j\rangle)_{ij}$ et montrer que $G$ est symétrique positive.

2. Montrer que $\det G>0\Leftrightarrow(v_1,\ldots,v_p)$ est libre.

3. En déduire la formule du volume: le $p$-volume du parallelotope engendré par $(v_i)$ est $\sqrt{\det G}$.