Partie I : Endomorphismes nilpotents

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d'indice $p$ (i.e. $u^p = 0$ et $u^{p-1} \neq 0$).

I.1. Montrer que $0$ est la seule valeur propre de $u$.

I.2. Montrer qu'il existe $x \in E$ tel que $(x, u(x), \ldots, u^{p-1}(x))$ est une famille libre.

I.3. En déduire que $p \leq n$.

I.4. Montrer que $\text{Id} + u$ est inversible et exprimer $(\text{Id} + u)^{-1}$ comme un polynôme en $u$.