Partie IV : Théorème de Baire et applications

IV.1. Énoncer et démontrer le théorème de Baire dans un espace de Banach.

IV.2. Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues sur $[0,1]$ convergeant simplement vers $f$. Montrer que l'ensemble des points de continuité de $f$ est un $G_\delta$ dense (théorème de Baire).

IV.3. Montrer qu'il n'existe pas de suite de polynômes convergeant simplement vers $\mathbb{1}_{\mathbb{Q} \cap [0,1]}$.

IV.4. En déduire que l'ensemble des fonctions continues nulle part dérivables est dense dans $(\mathcal{C}^0([0,1]), \|\cdot\|_\infty)$.