Partie III : Complétude et espaces de Banach

III.1. Montrer que $(E, \|\cdot\|_\infty)$ est un espace de Banach.

III.2. Montrer que l'ensemble des fonctions polynomiales est dense dans $E$ (théorème de Weierstrass).

III.3. L'opérateur $T: E \to E$ défini par $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,dt$ est-il continu ? compact ?

III.4. En déduire que l'équation $f(x) = g(x) + \lambda \int_0^x f(t)\,dt$ admet une unique solution pour tout $g \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$.