Partie II : Séries de fonctions

Difficile

On considere

S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}

II.1. Montrer que la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ .

II.2. En déduire que $S$ est $\mathbb{R}$ .

II.3. Montrer que $S$ est impaire et $2\pi$ -périodique, et calculer $S(0)$ , $S(\pi)$ et $S(2\pi)$ .

II.4. Montrer que $S$ n'est PAS dérivable en $0$ (on admettra $\sum\frac{\cos(nx)}{n} = -\ln(2\sin(x/2))$ sur $]0,2\pi[$ ).

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Partie II : Séries de fonctions

Difficile

On considere

S(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n^2}

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II.2. En déduire que $S$ est $\mathbb{R}$ .

II.3. Montrer que $S$ est impaire et $2\pi$ -périodique, et calculer $S(0)$ , $S(\pi)$ et $S(2\pi)$ .

II.4. Montrer que $S$ n'est PAS dérivable en $0$ (on admettra $\sum\frac{\cos(nx)}{n} = -\ln(2\sin(x/2))$ sur $]0,2\pi[$ ).

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