Partie IV : Processus de branchement

Un individu a $k$ descendants avec probabilité $p_k$. Soit $Z_n$ la taille de la $n$-ieme generation, $Z_0=1$.

1. Montrer que $E(Z_n)=m^n$ ou $m=\sum kp_k$ est le nombre moyen de descendants.

2. Montrer que si $m<1$, la population s'eteint p.s.

3. Si $m>1$, montrer que $q=P(\text{extinction})<1$ et que $q$ est la plus petite racine de $G(s)=s$ ou $G$ est la génératrice de la loi de reproduction.