Partie I : Fonction caractéristique

Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On définit $\varphi_X(t)=E(e^{itX})$.

1. Montrer que $\varphi_X$ est continue, $\varphi_X(0)=1$ et $|\varphi_X(t)|\leq 1$.

2. Montrer que $\varphi_X$ determine la loi de $X$ (théorème d'unicité).

3. Calculer $\varphi_X$ pour $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ et $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$.