Partie II : Décomposition polaire et SVD

1. Montrer que $A^TA$ est symétrique positive et que ses valeurs propres sont $\sigma_1^2\geq\cdots\geq\sigma_n^2\geq 0$ (valeurs singulières).

2. Montrer qu'il existe $U\in O_m$, $V\in O_n$ et $\Sigma=\text{diag}(\sigma_i)$ tels que $A=U\Sigma V^T$ (SVD).

3. Interpreter: $\|A\|=\sigma_1$ et $\text{rg}(A)=$ nombre de $\sigma_i>0$.