Partie I : Endomorphismes auto-adjoints

Soit $u$ un endomorphisme d'un espace euclidien $E$.

1. Montrer que $u$ est auto-adjoint ssi sa matrice dans toute BON est symétrique.

2. (Théorème spectral) Montrer que $u$ est diagonalisable dans une BON si et seulement si $u$ est auto-adjoint.

3. Application: montrer que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.