Partie IV : Endomorphismes symétriques

IV.1. Montrer que $u$ est symétrique ($\langle u(x),y\rangle = \langle x,u(y)\rangle$) si et seulement si sa matrice dans toute BON est symétrique.

IV.2. Montrer que $u$ symétrique implique que toutes ses valeurs propres sont réelles.

IV.3. Montrer que les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont deux a deux orthogonaux.

IV.4. Application : soit $q(x,y) = 2x^2 + 2y^2 + 2xy$. Trouver une BON dans laquelle $q$ est diagonale et donner sa signature.