Partie III : Dualité et formes linéaires

III.1. Soit $\varphi \in E^*$ non nulle. Montrer que $\ker \varphi$ est un hyperplan de $E$.

III.2. Réciproquement, montrer que tout hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire.

III.3. Soit $F$ un sev de $E$ et $F^0 = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\}$. Montrer que $\dim F^0 = n - \dim F$.

III.4. Montrer que l'application $F \mapsto F^0$ est une bijection décroissante entre les sous-espaces de $E$ et ceux de $E^*$.