Partie IV : Intégrales de Fresnel

IV.1. Montrer que $C(x)$ et $S(x)$ convergent quand $x \to +\infty$ (intégrales de Fresnel).

IV.2. En utilisant $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt = \sqrt{\pi}/2$, calculer $\int_0^{+\infty}e^{-zt^2}dt$ pour $z \in \mathbb{C}$, $\text{Re}(z) > 0$.

IV.3. En passant a la limite $z = i$, montrer que $\int_0^{+\infty}\cos(t^2)dt = \int_0^{+\infty}\sin(t^2)dt = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$.