Partie I : Intégrales dépendant d'un paramètre

I.1. Montrer que $I$ est bien définie et continue sur $]0, +\infty[$.

I.2. Montrer que $I$ est de classe $\mathcal{C}^1$ et calculer $I'(\alpha)$.

I.3. Montrer que $\lim_{\alpha \to +\infty} I(\alpha) = 0$ et $I(0^+) = \pi/2$.

I.4. En déduire que $I(\alpha) + I''(\alpha) = 1/\alpha$ pour $\alpha > 0$.