Partie IV : Théorie de Cayley-Hamilton

IV.1. Démontrer le théorème de Cayley-Hamilton : $\chi_A(A) = 0$.

IV.2. En déduire que $A$ est inversible si et seulement si $\det A \neq 0$, et exprimer $A^{-1}$ comme polynôme en $A$.

IV.3. Calculer $A^{-1}$ pour $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$.

IV.4. Montrer que le polynôme minimal $\mu_A$ divise $\chi_A$ et qu'ils ont les mêmes racines.