Partie IV : Application au problème de Sturm-Liouville

IV.1. Montrer que les valeurs propres sont $\lambda_n = n^2$ pour $n \geq 1$ et determiner les fonctions propres.

IV.2. Montrer que les fonctions propres forment un système orthogonal dans $L^2([0,\pi])$.

IV.3. Montrer que le système $(\sqrt{2/\pi}\sin(nx))_{n \geq 1}$ est une base hilbertienne de $L^2([0,\pi])$.

IV.4. En déduire l'identité $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$ en utilisant le développement de $f(x) = x(\pi-x)$.