Partie II : Sous-espaces stables

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $u$ l'endomorphisme associe.

II.1. Montrer que les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques de $u$ sont stables par tout élément du commutant $\mathcal{C}(A)$.

II.2. En déduire que si $A$ est diagonalisable, tout sous-espace stable par $\mathcal{C}(A)$ est somme directe de sous-espaces propres.

II.3. Montrer que si $A$ est un bloc de Jordan, les seuls sous-espaces stables par $A$ sont $\{0\}, \text{Vect}(e_1), \text{Vect}(e_1,e_2), \ldots, E$.

II.4. Application : trouver tous les sous-espaces stables de $A = \begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$ et de $B = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$.