Commutant d'une matrice

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Le commutant de $A$ est $\mathcal{C}(A) = \{M \in \mathcal{M}_n \mid AM = MA\}$.

I.1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n$.

I.2. Montrer que $\mathbb{K}[A] \subset \mathcal{C}(A)$.

I.3. Si $A$ est diagonalisable a valeurs propres distinctes, montrer que $\mathcal{C}(A) = \mathbb{K}[A]$.

I.4. Calculer $\dim \mathcal{C}(A)$ lorsque $A = \text{diag}(1,1,2)$.