Pour
f∈C0([0,1]), on définit
Bn(f)(x)=∑k=0nf(k/n)(kn)xk(1−x)n−k.
III.1. Montrer que Bn(1)=1, Bn(t)=x et Bn(t2)=x2+nx(1−x).
III.2. En déduire que Bn(f) converge uniformément vers f sur [0,1].
III.3. Montrer que si f est de classe C2, ∥Bn(f)−f∥∞≤8n∥f′′∥∞.