Partie I : Suites et séries de fonctions

I.1. Étudier la convergence simple de $(f_n)$.

I.2. La convergence est-elle uniforme sur $\mathbb{R}$ ? sur $[1, +\infty[$ ?

I.3. On pose $S_n(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x)$. Montrer que $S_n$ converge simplement mais pas uniformément sur $]0,1]$.