Partie IV : Espaces quotients

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $F$ un sous-espace de dimension $p$.

IV.1. Definir l'espace quotient $E/F$ et montrer que $\dim(E/F) = n - p$.

IV.2. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $F$ est stable par $u$. Montrer que $\bar{u} : E/F \to E/F$, $\bar{x} \mapsto \overline{u(x)}$ est bien défini et linéaire.

IV.3. Montrer que $\chi_u = \chi_{u|_F} \cdot \chi_{\bar{u}}$.

IV.4. Application : soit $u$ tel que $u^2 = 0$ et $\dim\ker u = k$. Montrer que $k \geq n/2$.