Partie III : Rang et applications

III.1. Montrer que $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^T)$.

III.2. Montrer que $\text{rg}(AB) \leq \min(\text{rg}(A), \text{rg}(B))$.

III.3. Montrer l'inégalité de Sylvester : $\text{rg}(AB) \geq \text{rg}(A) + \text{rg}(B) - n$ (ou $B \in \mathcal{M}_{n,p}$).

III.4. Application : si $A^2 = A$ (projecteur), montrer que $\text{rg}(A) + \text{rg}(I-A) = n$.