Partie IV : Formule sommatoire de Poisson

IV.1. Montrer que $g$ est bien définie, $\mathcal{C}^\infty$ et 1-periodique.

IV.2. Calculer les coefficients de Fourier de $g$ et montrer la formule de Poisson : $\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} \hat{f}(k)$.

IV.3. Application : en appliquant a $f(t) = e^{-\pi t^2/a}$, montrer la formule $\sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-\pi n^2/a} = \sqrt{a}\sum_{k \in \mathbb{Z}} e^{-\pi k^2 a}$ (équation fonctionnelle de la theta).