Partie I : Intégrales de Wallis et formule de Stirling

Difficile

On pose

W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(t)\,dt

I.1. Montrer que $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}W_n$ et en déduire $W_n$ explicitement.

I.2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante et que $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ .

I.3. En déduire la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ .

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Partie I : Intégrales de Wallis et formule de Stirling

Difficile

On pose

W_n = \int_0^{\pi/2} \sin^n(t)\,dt

I.1. Montrer que $W_{n+2} = \frac{n+1}{n+2}W_n$ et en déduire $W_n$ explicitement.

I.2. Montrer que $(W_n)$ est décroissante et que $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ .

I.3. En déduire la formule de Stirling : $n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ .

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