Théorème de convergence monotone

Soit $(f_n)$ une suite croissante de fonctions mesurables positives sur $[0,1]$ convergeant simplement vers $f$.

1. Énoncer le théorème de convergence monotone (Beppo Levi).

2. Application : calculer $\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{nx}{1+n^2x^2}dx$ en justifiant l'échange limite-integrale.

3. Montrer que $\sum_{n=1}^\infty\int_0^1 f_n = \int_0^1\sum_{n=1}^\infty f_n$ pour $f_n\geq 0$ mesurables.