Endomorphismes auto-adjoints et min-max

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u$ un endomorphisme symétrique de valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.

1. Montrer que $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$ et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.

2. (Courant-Fischer) Montrer que $\lambda_k=\min_{\dim V=k}\max_{x\in V,\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.

3. En déduire que si $A$ et $B$ sont symetriques: $\lambda_k(A+B)\leq\lambda_k(A)+\lambda_n(B)$.