Méthode de Gauss et réduction

Soit $q$ une forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$.

1. Énoncer et appliquer l'algorithme de Gauss a $q(x,y,z) = x^2+4xy+5y^2+2yz+z^2$.

2. Determiner la signature de $q$.

3. Montrer que toute forme quadratique réelle admet une base dans laquelle $q = \sum_{i=1}^p x_i^2 - \sum_{j=p+1}^{p+q}x_j^2$ (loi d'inertie de Sylvester).