Séries de fonctions et convergence uniforme

1. Montrer que $S$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ et en déduire que $S$ est continue.

2. Montrer que $S$ est dérivable et calculer $S'(x)$.

3. En déduire que $S(x)=\frac{\pi-x}{2}x$ pour $x\in[0,2\pi]$ (on admettra $\sum\frac{\cos(nx)}{n}=-\ln(2\sin(x/2))$).