Séries de fonctions et convergence uniforme

1. Montrer que la série converge normalement sur $\mathbb{R}$ et en déduire que $S$ est continue.

2. Montrer que $S$ est dérivable sur $]0,2\pi[$ et calculer $S'(x)$ (on admettra $\sum\frac{\cos(nx)}{n}=-\ln(2\sin(x/2))$ sur cet intervalle).

3. Étudier les variations de $S$ sur $[0,2\pi]$ et montrer que son maximum y est atteint en $x = \pi/3$.