Formule de Stirling

Difficile

On pose

u_n = \frac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{n}}

1. Montrer que $\ln u_n = \sum_{k=1}^n (k\ln k - k\ln(k-1) - 1) + \frac{1}{2}\ln n + n - n\ln n + n\ln n - \ldots$ (simplifier).

2. Montrer que $u_n$ converge vers une $C > 0$ .

3. En utilisant les intégrales de Wallis, montrer que $C = \sqrt{2\pi}$ , d'ou $n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ .

La solution est réservée aux abonnés

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Formule de Stirling

Difficile

On pose

u_n = \frac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{n}}

1. Montrer que $\ln u_n = \sum_{k=1}^n (k\ln k - k\ln(k-1) - 1) + \frac{1}{2}\ln n + n - n\ln n + n\ln n - \ldots$ (simplifier).

2. Montrer que $u_n$ converge vers une $C > 0$ .

3. En utilisant les intégrales de Wallis, montrer que $C = \sqrt{2\pi}$ , d'ou $n! \sim \sqrt{2\pi n}(n/e)^n$ .

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