Formule de Stirling

On pose $u_n = \frac{n!}{n^n e^{-n}\sqrt{n}}$ pour $n \geq 1$.

1. Montrer que pour tout $n \geq 2$ :

2. En déduire un développement asymptotique de cette quantité, puis que $u_n$ converge vers une limite $C > 0$.

3. En utilisant les intégrales de Wallis, montrer que $C = \sqrt{2\pi}$, d'où $n! \sim \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$.