Matrices orthogonales et exponentielle

Soit $\mathcal{A}_n$ l'ensemble des matrices antisymetriques ($A+A^T=0$).

1. Montrer que $\mathcal{A}_n$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n$. Calculer sa dimension.

2. Montrer que si $A\in\mathcal{A}_n$, alors $e^A\in SO_n(\mathbb{R})$.

3. Réciproquement, montrer que toute matrice de $SO_n$ suffisamment proche de $I_n$ est de la forme $e^A$ avec $A\in\mathcal{A}_n$.