Groupe linéaire et topologie

1. Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est un ouvert de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

2. Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ a exactement deux composantes connexes : $GL_n^+$ et $GL_n^-$.

3. En déduire que $O_n(\mathbb{R})$ a deux composantes connexes : $SO_n$ et l'ensemble des matrices de déterminant $-1$.