Endomorphismes orthogonaux et formes normales

1. Montrer que toute matrice $M \in O_n$ est semblable (dans $O_n$) a une matrice diagonale par blocs de rotations et $\pm 1$.

2. En déduire que $\det M = \pm 1$ et $|\text{tr}(M)| \leq n$.

3. Application : montrer que le groupe $SO_2(\mathbb{R})$ est commutatif mais pas $SO_3(\mathbb{R})$.