Approximation par convolution

Soit $\rho_n$ une suite d'approximations de l'identite: $\rho_n\geq 0$, $\int\rho_n=1$, $\text{supp}(\rho_n)\subset[-1/n,1/n]$.

1. Pour $f\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R})$ bornée, montrer que $f*\rho_n(x)=\int f(x-t)\rho_n(t)dt$ est bien défini.

2. Montrer que $f*\rho_n\to f$ uniformément sur tout compact.

3. En déduire que $\mathcal{C}^\infty$ est dense dans $(\mathcal{C}^0(K),\|\cdot\|_\infty)$ pour $K$ compact.