Noyau de Fejér et convergence

On pose $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{N+1}\sum_{n=0}^N S_n(f)(x)$ (moyennes de Cesaro).

1. Montrer que $\sigma_N(f)(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x-t)F_N(t)dt$ ou $F_N$ est le noyau de Fejer.

2. Montrer que $F_N(t) = \frac{1}{N+1}\frac{\sin^2((N+1)t/2)}{\sin^2(t/2)} \geq 0$.

3. En déduire que $\sigma_N(f) \to f$ uniformément si $f$ est continue.