Égalité de Parseval

Soit $f$ continue $2\pi$-periodique, $c_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)e^{-int}dt$.

1. Énoncer et démontrer l'inégalité de Bessel : $\sum_{|n|\leq N}|c_n|^2 \leq \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f|^2$.

2. Montrer l'égalité de Parseval : $\sum_{n\in\mathbb{Z}}|c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f|^2$.

3. Application : calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$ en utilisant $f(t) = t^2$ sur $[-\pi,\pi]$.