Théorème central limite

Soit $(X_n)$ iid d'espérance $\mu$ et variance $\sigma^2$. On pose $Z_n=\frac{S_n-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$.

1. Montrer que $E(Z_n)=0$ et $\text{Var}(Z_n)=1$.

2. Calculer la fonction caractéristique $\varphi_{Z_n}(t)$ et montrer que $\varphi_{Z_n}(t)\to e^{-t^2/2}$.

3. En déduire que $Z_n\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0,1)$ (théorème central limite).

4. Application : pour $n=100$ lancers de piece, approcher $P(40\leq S_n\leq 60)$.