Commutant et réduction simultanée

1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est une sous-algebre de $\mathcal{M}_n$.

2. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ contient les polynômes en $A$: $\mathbb{R}[A]\subset\mathcal{C}(A)$.

3. Si $A$ a $n$ valeurs propres distinctes, montrer que $\mathcal{C}(A)=\mathbb{R}[A]$.

4. Si $A$ et $B$ commutent et sont diagonalisables, montrer qu'elles sont simultanement diagonalisables.