Logarithme matriciel

1. Montrer que pour $\|A\| < 1$, la série $\ln(I+A) = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}A^n$ converge.

2. Montrer que $e^{\ln(I+A)} = I+A$ pour $\|A\| < 1$.

3. Montrer que si $M$ est inversible et assez proche de $I$, il existe $N$ telle que $e^N = M$.