Dual topologique et théorème de Hahn-Banach

1. Montrer que $E'$ est un espace de Banach muni de la norme $\|\ell\|=\sup_{\|x\|\leq 1}|\ell(x)|$.

2. Montrer que pour tout $x\in E$: $\|x\|=\sup_{\ell\in E',\|\ell\|\leq 1}|\ell(x)|$.

3. En déduire que si $\ell(x)=0$ pour tout $\ell\in E'$, alors $x=0$.