Espaces complets et point fixe

Soit $(X,d)$ un espace métrique complet et $f : X \to X$ contractante ($d(f(x),f(y)) \leq k\cdot d(x,y)$ avec $k < 1$).

1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe (théorème de Banach).

2. Montrer que $d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1-k}d(x_0, x_1)$.

3. Application : montrer que $\cos$ admet un unique point fixe dans $[0,1]$ et l'approximer.