Applications linéaires continues

Soit $f : (E,\|\cdot\|_E) \to (F,\|\cdot\|_F)$ linéaire, $E$ et $F$ de dimension finie.

1. Montrer que $f$ est continue.

2. Montrer que la norme d'opérateur $\|f\| = \sup_{\|x\|=1}\|f(x)\|$ est bien définie et finie.

3. Montrer que $\|f\| = \inf\{C : \|f(x)\| \leq C\|x\|, \forall x\}$.

4. Application : calculer $\|f\|$ pour $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $(x,y) \mapsto x+y$ avec la norme euclidienne.