Partie IV : Simulation et méthode de Monte-Carlo

On veut approcher $I=\int_0^1 e^{-x^2}dx$ par la méthode de Monte-Carlo.

1. Soit $U\sim\mathcal{U}([0,1])$. Montrer que $E(e^{-U^2})=I$.

2. En déduire un estimateur de $I$ base sur un echantillon $U_1,\ldots,U_n$.

3. Donner un intervalle de confiance a 95\% pour $I$ avec $n=10000$.